Question

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e＝，过点C(－1，0)的直线l交椭圆于A、B两点，且满足＝λ(λ≥2)．

(1)若λ为常数，试用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积；

(2)若λ为常数，当△OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；

(3)若λ变化，且λ＝k²＋1，试问：实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时，椭圆E的短半轴取得最大值？并求此时的椭圆方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝＝及a2＝b2＋c2得a2＝3b2． 　　故椭圆方程为x2＋3y2＝3b2．　　① 　　(1)因为直线l：y＝k(x＋1)交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，并且＝λ(λ≥2)． 　　∴(x1＋1，y1)＝λ(－1－x2，－y2)． 　　即　　② 　　把y＝k(x＋1)代入椭圆得 　　(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0， 　　且Δ＝k2(3b2－1)＋b2＞0， 　　∴x1＋x2＝－，　　③ 　　x1x2＝． 　　因此S△OAB＝|y1－y2|＝|λ＋1|·|y2|＝|k|·|x2＋1|． 　　联立②、③得x2＋1＝， 　　∴S△OAB＝·(k≠0)． 　　(2)S＝·≤·， 　　当且仅当3|k|＝，即k＝±时，S取得最大值，此时x1＋x2＝－1． 　　又x1＋1＝－λ(x2＋1)，∴x1＝，x2＝． 　　将x1，x2代入④得3b2＝． 　　故椭圆方程x2＋3y2＝(λ≥2)． 　　(3)由②、③联立得x1＝－1，x2＝－1． 　　将x1，x2代入④得3b2＝＋1． 　　由k2＝λ－1得3b2＝＋1＝[＋]＋1． 　　易知，当λ≥2时，3b2是λ的减函数，故当λ＝2时，(3b2)max＝3． 　　所以，当λ＝2，k＝±1时，椭圆短半轴的长取得最大值，此时椭圆方程为x2＋3y2＝3． 　　分析：首先考查椭圆的性质．在(1)中既考查了直线方程、向量和二次方程等知识，又体现了转化思想的应用；在(2)中，考查了利用不等式求最值；在(3)中，既要运用数形结合思想和转化思想，巧妙地把与椭圆有关的最值问题转化为函数的最值问题，又要利用函数的单调性求最值．

提示：

评注：本题以直线与椭圆为背景，向量为“纽带”，把方程、不等式、函数联系起来，体现了在方程，不等式、函数等知识网络交汇处命题的思想．