Question

已知{a_n}为等差数列，且a_n≠0，公差d≠0．
（1）试证：

1

a1

-

1

a2

=

d

a1a2

；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

2d2

a1a2a3

；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

6d3

a1a2a3a4

；
（2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）把三个式子分别通分后，利用等差数列的性质化简即可得证；（2）根据第一问的三个等式，归纳总结出一般性的结论

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，然后利用数学归纳法假设n等于k时成立，当n等于k+1时，通分并利用等差数列的性质可得也成立，得到n大于等于2时，此一般性结论都成立．

解答：解：（1）证明：由{a_n}为等差数列可得a_n-a_n-1=d（n≥2），则

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

=

d

a1a2

得证；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

1

a1

-

2

a2

+

1

a3

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

+

a2-a3

a2a3

=d•

a3-a1

a1a2a3

=

2d2

a1a2a3

得证；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

1

a1

-

3

a2

+

3

a3

-

1

a4

=（

1

a1

-

1

a4

）-（

3

a2

-

3

a3

）
=

3d

a1a4

-

3d

a2a3

=3d•

a2a3-a1a4

a1a2a3a4

=

3d•2 d

a1a2a3a4

=

6d3

a1a2a3a4

得证．
（2）结论：

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，
证：①当n=2，3，4时，等式成立，
②假设当n=k时，

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

成立，
那么当n=k+1时，因为C_k^k-1=C_k-1^k-1+C_k-1^k-2，所以

C 0 k

a1

-

C 1 k

a2

+

C 2 k

a3

-+

(-1)k+2 C k k

ak+1

=

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1 + C 0 k-1

a2

+

C 2 k-1 + C 1 k-1

a3

-+

(-1)k+1( C k-1 k-1 + C k-2 k-1 )

ak

+

(-1)k+2 C k-1 k-1

ak+1

=(

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

)-(

C 0 k-1

a2

-

C 1 k-1

a3

+

C 2 k-1

a4

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak+1

)=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

-

(k-1)!dk-1

a2a3ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

(ak+1-a1)=

k!dk

a1a2akak+1

，
所以，当n=k+1时，结论也成立．
综合①②知，

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2an

对n≥2都成立．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，要求学生会根据特殊的等式归纳总结出一般性的结论并会利用数学归纳法进行证明，是一道中档题．