Question

（2013•兰州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4，

π

2

)，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）由曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

，知曲线C的普通方程是

x2

3

+y2=1，由点P的极坐标为(4，

π

2

)，知点P的普通坐标为（4cos

π

2

，4sin

π

2

），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．
（2）由Q在曲线C：

x= 3 cosα y=sinα

上，（0°≤α＜360°），知Q(

3

cosα，sinα)到直线l：x-y+4=0的距离d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

2

|2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．

解答：解：（1）∵曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

，
∴曲线C的普通方程是

x2

3

+y2=1，
∵点P的极坐标为(4，

π

2

)，
∴点P的普通坐标为（4cos

π

2

，4sin

π

2

），即（0，4），
把（0，4）代入直线l：x-y+4=0，
得0-4+4=0，成立，
故点P在直线l上．
（2）∵Q在曲线C：

x= 3 cosα y=sinα

上，（0°≤α＜360°）
∴Q(

3

cosα，sinα)到直线l：x-y+4=0的距离：
d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

2

|2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°）
∴dmin=

2

2

|4-2|=

2

．

点评：本题考查椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用．