Question

已知与直线l：4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于一切x∈[2，5]，总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，求n-m的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意，f（2）=-1，f′（2）=-
∵，
∴
∴，
解得a=-3，b=-1，
∴
（2）∵，∴，x≠
令0，可得0＜x＜，或；令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1；
∴函数的递增区间为（0，），（，1），单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，所以
，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则
∴
∴
当时，n-m的最小值为．
分析：（1）求出导函数，利用f（2）=-1，f′（2）=-，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，令0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，可得，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则，由此可求n-m的最小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，正确求导，确定函数的单调性是关键．