Question

做一个物理试验，甲、乙两人一次试验成功的概率分别为0.6、0.8，且每次试验成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲做试验三次，第三次才能成功的概率；
（II） 甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率；
（III） 甲、乙各做试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（I）甲做试验三次，第三次才能成功表示前两次都不成功，第三次才能成功，且三次试验之间是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）甲和乙两个人在第一次试验中至少有一次成功包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件 的概率公式得到结果，也可以用对立事件的概率来做出结果．
（III）“甲在两次试验中成功i次”为事件M_i（i=0，1，2），“乙在两次试验中成功i次”为事件N_i（i=0，1，2），事件“甲、乙各试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁为互斥事件．根据概率公式得到结果．

解答：解：记“甲第i次试验成功”为事件A₁，“乙第i次试验成功”为事件B₁．
依题意得P（A₁）=0.6，P（B₁）=0.8，且A₁B₁（i=1，2，3）相互独立．
（I）“甲第三次试验才成功”为事件

.

A1

.

A2

A₃，且三次试跳相互独立，
∴P（

.

A1

.

A2

A₃）=P（

.

A1

）P(

.

A2

)P(A3)=0.4×0.4×0.6=0.096．
答：甲第三次试验才成功的概率为0.096．…3分
（II）甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功为事件C，
解法一：C=A₁

.

B1

+

.

A1

B1+A1B1，且A1

.

B1

、

.

A1

B1、A1B1彼此互斥，
∴P（C）=P(A1•

.

B1

)+P(

.

A1

•B1)+P(A1•B1)
=P(A1)P(

.

B1

)+P(

.

A

1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.6×0.2+0.4×0.8+0.6×0.8
=0.92．
解法二：P（C）=1-P(

.

A1

)?P(

.

B 1

)=1-0.4×0.2=0.92．
答：甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率为0.92．…7分
（III）设“甲在两次试验中成功i次”为事件M_i（i=0，1，2），
“乙在两次试验中成功i次”为事件N_i（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁为互斥事件．
∴所求的概率为

P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)

=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=2×0.6×0.4×0.2²+0.6²×2×0.8×0.2
=0.0192+0.1152
=0.1344．
答：甲、乙每人试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.1344．…12分．

点评：本题考查相互独立事件和互斥事件即对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，数字的运算不要出错，本题是一个中档题目．