Question

如图，为了测不可到达的河北岸C，D之间的距离，在河南岸选定A，B两点，测得AB=100米，∠CAD=60°，∠DAB=30°，∠DBA=105°，∠CBA=45°，设A，B，C，D在同一个平面内，试求C，D两点之间的距离．

Answer 1

分析：在直角三角形CAB中，利用勾股定理，求出BC的长度，在三角形ABD中，由正弦定理求出BD的长度，在三角形CBD中，利用余弦定理求出CD的长度．

解答：解：∠CAB=∠CAD+∠DAB=60°+30°=90°，∠CBA=45°，
在Rt△CAB中，BC=

AB2+AC2

=

1002×2

=100

2

，
∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-105°=45°，
在△ADB中，

BD

sin∠DAB

=

AB

sin∠ADB

，
BD=

100×sin30°

sin45°

=50

2

，
∠CBD=∠DBA-∠CBA=105°-45°=60°，
在△CBD中，CD²=BC²+BD²-2BC×BD×cos∠CBD
=20000+5000-10000=15000，
∴CD=50

6

，
即C，D两点之间的距离为50

6

米．

点评：本题考查解三角形的实际应用，做这类是需要仔细观察，要求的量需要在哪个三角形中求，又需要哪些量，这些量又应该在哪些三角形中求，一一破解；
本题用到的知识点有勾股定理，正弦定理，余弦定理，勾股定理只能用于直角三角形中，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边，余弦定理在解三角形中，用于下面两种题型：知三边解三角形；知两边及夹角解三角形．