Question

10．关于x的方程（x²-1）²-|x^2-1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是

A．0       B.1         C.2           D.3

Answer 1

A

解析：据题意可令|x²-1|=t(t≥0),则方程化为t²-t+k=0(1),作出函数y=|x²-1|的图象.结合函数的图象可知1，当t=0或t＞1时方程有2个不等的根.2.当0＜t＜1时方程有4个根，3.当t=1时，方程有3个根,故当t=0时，代入方程(1)，解得k=0此时方程(1)有两个不等根t=0或t=1,故此时方程有5个根：当方程（1）有两个不等正根时，即0＜k＜此时方程(1)有两根且均小1.故相应的满足方程|x²-1|=t的解有8个：当k=时，方程(1)有两个相等正根t=.相应的解有4个.