Question

已知椭圆C：

x2

m2

+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）
（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；
（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；
（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；
（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y²=1-

x2

9

；而|PA|²=（x-2）²+y²，将y²=1-

x2

9

代入可得，|PA|²=

8x2

9

-4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|²的最大与最小值；进而可得答案；
（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|_^取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；解可得答案．

解答：解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；
则a=2；椭圆的焦点在x轴上；
则c=

3

；
则椭圆焦点的坐标为（

3

，0），（-

3

，0）；
（2）若m=3，则椭圆的方程为

x2

9

+y²=1；
变形可得y²=1-

x2

9

，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

9

-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根据二次函数的性质，分析可得，
x=-3时，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最大值，且最大值为25；
x=

9

4

时，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最小值，且最小值为

1

2

；
则|PA|的最大值为5，|PA|^_的最小值为

2

2

；
（3）设动点P（x，y），
则|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；
当x=m时，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，
则

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+

2

．

点评：本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．