Question

目前全世界都使用体重指数（BMI）来衡量一个人胖或不胖，计算的方法是：BMI=体重（kg）除以身高（m）的平方，世界卫生组织拟定的标准是：BMI在18.5-24.9时属正常范围，BMI大于25为超重，BMI大于30为肥胖，在某所高中随机抽取16名学生，测得身高、体重、BMI值如下表：表中身高单位为cm，体重单位为kg．

身高	166	169	170	166	180	175	177	176
体重	65	70	70	70	98	93	90	75
BMI	23.6	24.5	24.2	25.2	30.2	30.4	28.7	24.2
身高	174	182	181	168	169	185	181	179
体重	85	91	95	69	69	85	99	97
BMI	28.1	27.5	29	24.4	24.2	25	30.2	30.3

（I）若从这16人中随机选取4人，求至多有一人是肥胖的概率；
（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计这所高中学校的整体数据，若从该校任选4人，ξ表示抽到肥胖学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据信息可知，16人中有4个人肥胖，利用等可能事件的概率公式，可求从这16人中随机选取4人，至多有一人是肥胖的概率；
（Ⅱ）任取1人，此人肥胖的概率为

1

4

，故P（ξ=k）=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k，k=0，1，2，3，4，由此可得ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（I）根据信息可知，16人中有4个人肥胖，所以从这16人中随机选取4人，至多有一人是肥胖的概率为P=

C 4 12 + C 1 4 C 3 12

C 4 16

=

275

364

；
（Ⅱ）任取1人，此人肥胖的概率为

1

4

，故P（ξ=k）=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k，k=0，1，2，3，4
∴分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	81 256	108 256	54 256	12 256	1 256

ξ的数学期望Eξ=0×

81

256

+1×

108

256

+2×

54

256

+3×

12

256

+4×

1

256

=1．

点评：本题考查等可能事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，属于中档题．