Question

已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，过点N作方向向量为（-1，-1）的直线l，它与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=

3

，故可求点P的轨迹方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据直线l方向向量为（-1，-1），可求直线L的方程为：y=x-2，直线l与曲线C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0，利用韦达定理得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，从而可求|AB|，再求出O点到直线l的距离，即可求出△AOB的面积．

解答：解：（1）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=

3

，
所以双曲线的方程为x2-

y2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）    
∵直线l方向向量为（-1，-1），
∴直线l的斜率k=1
故直线l的方程为：y=x-2      
联立直线l与曲线C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0
∴x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

于是|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=6
又O点到直线l的距离为：d=

|-2|

2

=

2

∴S△AOB=

1

2

d×|AB|=3

2

点评：本题主要考查利用双曲线的定义求轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确运用韦达定理求|AB|