Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）对t∈[4，6]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，可求出f（0），（2）根据单调性的定义证明函数的单调性，（3）根据（2）的结论，去掉对应法则f，把f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）转化不等式为（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13，达到求解目的．

解答：解：（1）令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）当x＜0时，-x＞0，则0＜f(-x)＜1⇒f(x)=

1

f(-x)

＞0
即对任意x∈R都有f（x）＞0
对于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1⇒f(x1)＜f(x2)
即f（x）在R上为减函数．

（3）∵y=f（x）为R上的减函数
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）
?（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13?|x-4|-|x+4|＜

t2-4t+13

t-2

由题意知，|x-4|-|x+4|＜(

t2-4t+13

t-2

)min
而

t2-4t+13

t-2

=(t-2)+

9

t-2

∈[6，  6

1

2

]
∴须|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集为：{x：x＞-3}．

点评：抽象函数求某点的函数值，通常采取赋值法解决；对于抽象函数的单调性，奇偶性的判定，一般采取定义解决，对于不等式恒成立的问题，分离参数是首选方法，此题难度较大，综合性强，属难题．