Question

给出下列命题：
①“sinα＞sinβ”是“α＞β”的既不充分又不必要条件；
②若f（x）在某区间M上为增函数，则对于该区间上的任意x，总有f′（x）＞0；
③设空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若点P满足向量关系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，则P、A、B、C四点共面；
④若取值为x₁，x₂，x₃…x_n的频率分别为p₁，p₂，p₃…p_n，则其平均数为

n

i=1

xipi．
其中所有真命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①由题意看命题“sinα＞sinβ”，与命题“α＞β”，是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
②因为函数f（x）为增函数，可得f′（x）≥0，根据此结论进行判断．
③从共面向量定理出发，判断对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，如果点P、A、B、C四点共面，必须满足x+y+z=1条件，可以判断选项③的正误．
④根据平均数的计算公式即可判断其真假．

解答：解：①∵“sinα＞sinβ
若2kπ＜α，β＜

π

2

+2kπ（k∈N），
此时有α＞β，在别的象限则不一定成立，
反之不一定成立，
∴甲是乙既不充分也不必要条件，故①正确；
②：∵函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，
∴若函数f（x）为增函数，
∴f′（x）≥0，
不一定f′（x）＞0，也可能f′（x）=0，故②错；
③对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，
点P满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，如果点P，A，B，C共面，必须有x+y+z=1，
对于“若点P满足向量关系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，则P、A、B、C四点共面”，
所以由前者推不出后者，故③错；
④若取值为x₁，x₂，x₃…x_n的频率分别为p₁，p₂，p₃…p_n，根据平均数计算公式知，其平均数为

n

i=1

xipi．故正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意导函数、空间向量、三角函数等基本知识的灵活运用．