Question

已知函数．
（I）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解：（I）当a=﹣1时，f（x）=1nx+x+ ﹣1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）= +1﹣ ，
因此，f′（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=1n2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（1n2+2）=x﹣2，
所以曲线，即x﹣y+1n2=0；
（Ⅱ）因为 ，
所以 = ，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=﹣x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，即ax²﹣x+1﹣a=0，解得x₁=1，x₂= ﹣1．
①当a= 时，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜ 时， ﹣1＞1＞0 x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1， ﹣1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（ ﹣1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于 ﹣1＜0， x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＜0函数f（x）单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a= 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜ 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1， ﹣1）上单调递增；
函数f（x）在（ ﹣1，+∞）上单调递减．