Question

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥，
∴2sinB（2cos²-1）=-cos2B，
∴2sinBcosB=-cos2B，即sin2B=-cos2B，
∴tan2B=-，
又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B=，
则B=；
（Ⅱ）∵B=，b=2，
∴由余弦定理cosB=得：a²+c²-ac-4=0，
又a²+c²≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S_△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），
则S_△ABC的最大值为．
分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．