Question

如图，已知M（m，m²）、N（n，n²）是抛物线C：y=x²上两个不同点，且m²+n²=1，m+n≠0，直线l是线段MN的垂直平分线．设椭圆E的方程为．
（Ⅰ）当M、N在抛物线C上移动时，求直线L斜率k的取值范围；
（Ⅱ）已知直线L与抛物线C交于A、B、两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，OP中点为S，若，求椭圆E离心率的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用M，N的坐标表示出直线MN的斜率，进而表示出直线l的斜率，根据m²+n²=1，由m²+n²≥2mn求得m和n的不等式关系，进而求得k的范围．
（2）先根据题意整理出直线l的方程，进而代入椭圆和抛物线方程，利用P，S表示出求得a和k的关系，利用（1）中k的范围求得a的范围，进而求得椭圆离心率的范围．
解答：解：（1）∵直线MN的斜率，
又∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线l的斜率
∵m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得2（m²+n²）≥（m+n）²，
即2≥（m+n）²，∴
因M、N两点不同，∴，
∴
（2）∵l方程为：，
又∵m²+n²=1，，
∴l：y=kx+1，代入抛物线和椭圆方程并整理得：x²-kx-1=0（1），
（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0（2）
易知方程（1）的判别式△₁=k²+4＞0恒成立，方程（2）的判别式△₂=8a（2k²+a-1）
∵，a＞0，
∴2k²+a-1＞a＞0，∴△₂＞0恒成立
∵R（，+1），S（，），
由得：，
∴，
∵，∴a==2-＞2-=，＜a＜2，
∴，∴a=2-2e²＞，
e²＜，∴0＜e＜，
∴椭圆E离心率的取值范围是（0，）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题．与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向．