Question

F₁ F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF₁F₂的内心，且S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，则λ=________．

Answer 1

-
分析：设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，由S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，可求得|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，利用双曲线的离心率的定义即可求得λ．
解答：依题意，设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则S_△IPF1=|PF₁|•r，S_△IPF2=|PF₂|，S_△IF1F2=|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，
∴|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，
∵P为双曲线右支上一点，
∴2a=-λ×2c，由双曲线的方程可知，a=4，b=3，故c=5，
∴λ=-=-．
故答案为：-．
点评：本题考查双曲线的简单性质，突出考查转化思想的运用，将S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，转化为|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|是关键，也是难点，属于中档题．