Question

对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x²的所有“保值”区间；
（2）函数y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中保值”区间的定义，结合函数y=x²的值域是[0，+∞），我们可得[a，b]⊆[0，+∞），从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，则，结合a＜b即可得到函数y=x²的“保值”区间．
（2）根据已知中保值”区间的定义，我们分函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，和函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
解答：解：（1）因为函数y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，
故有解得
又a＜b，所以所以函数y=x²的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
（2）若函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
①若a＜b≤0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，
所以 消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又所以 ．
因为 ，所以 ．…（6分）
②若b＞a≥0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，
所以 消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 m≠0，所以 ．…（9分）
综合 ①、②得，函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是．…（10分）
点评：本题考查的知识点是函数单调性，函数的值，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键．