Question

已知：一窗户满足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（单位m），一蜘蛛在窗户上布的蜘蛛网满足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t为常数，且0≤t≤1），图象围成的封闭图形如图3中阴影所示．
（1）当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值
（2）在（1）条件下若有4只苍蝇从窗户飞过，ξ表示蜘蛛捕捉到苍蝇数，求捕捉到苍蝇数分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）窗户的最大面积是S_1max=e-1，蜘蛛网的面积S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx=（2t-3）•e^t+e+1，t=

1

2

时，S_2min=e-2

e

+1．所以当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由题设知ξ～B（4，

e -1

e +1

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）∵一窗户满足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（单位m），
∴窗户的最大面积是S_1max=e-1，
∵一蜘蛛在窗户上布的蜘蛛网满足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t为常数，且0≤t≤1），
∴蜘蛛网的面积S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx
=[e^tx-e^x]|₀^t+[e^x-e^tx]|_t¹
=e^t•t-e^t+1+e-e^t-e^t+e^tt
=2t•e^t-3e^t+e+1
=（2t-3）•e^t+e+1
∵S₂′=2e^t+（2t-3）e^t，
∴由S₂′=2e^t+（2t-3）e^t=0，得t=

1

2

．
当t∈[0，

1

2

)时，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＜0，
当t∈(

1

2

，1]时，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＞0，
∴t=

1

2

时，S_2min=e-2

e

+1．
∴当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值
p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由题设知ξ～B（4，

e -1

e +1

），
∴ξ的分布列是P（ξ=k）=

C

k 4

(

e -1

e +1

)k•(

2

e +1

)4-k，k=0，1，2，3，4．
Eξ=

4 e -4

e +1

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，注意定积分的灵活运用．计算量大且繁琐，容易出错，要注意培养计算能力．