Question

如图：在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁垂直底面，且DD₁=2，底面四边形ABCD与A₁B₁C₁D₁分别为边长2和1的正方形．
（1）求直线DB₁与BC₁夹角的余弦值；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，见图①，利用的夹角余弦值求直线DB₁与BC₁夹角的余弦值．

（2）如图②

直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可
解答：解：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．如图①

则各点坐标D（0，0，0）B（2，2.0）B1（1，1，2）C1（0，1，2）
=（1，1，2），=（-2．-1，2）
设的夹角为θ，则cosθ===
直线DB₁与BC₁夹角的余弦值为．
（2）如图②

∵直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．
过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有 ．
∵OM⊥B₁B，有 ，
，，．
．
点评：本小题主要考查直线与直线的夹角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题