Question

已知圆C：x²+y²+2x-3=0．
（1）求过点P（1，3）且与圆C相切的直线方程；
（2）问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相切的等价条件即可求与圆相切的直线方程；
（2）联立直线方程和圆的方程，利用消元法转化为一元二次方程进行求解即可．

解答： 解：（1）圆C的方程可化为（x+1）²+y²=4，即圆心为（-1，0），半径为r=2．
若过点P的直线斜率不存在，即x=1，与圆C相切，满足条件；…（1分）
若过点P的切线斜率存在，设为k，
则切线的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，
∴

|-k-0-k+3|

k2+1

=2，解得k=

5

12

．
∴切线方程为5x-12y+31=0．
综上，所求的切线方程为x=1或5x-12y+31=0．…（4分）
（2）假设直线存在，设方程为y=x+b，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点，则OA⊥OB，
即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
联立

y=x+b x2+y2+2x-3=0

消去y得2x²+（2b+2）x+b²-3=0，
则判别式△=（2b+2）²-4×2×（b²-3）=-4b²+8b+28＞0，
得1-2

2

＜b＜1+2

2

，
则x₁+x₂=b-1，x₁x₂=

b2-3

2

，
则y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=

b2-3

2

+b（-b-1）=

b2-2b-3

2

，
由

b2-3

2

+

b2-2b-3

2

=0得b²-b-3=0，
解得b=

1+ 13

2

或b=

1- 13

2

，
检验都满足条件，
故直线方程为y=x+

1+ 13

2

或y=x-

1- 13

2

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的条件，以及联立方程组法是解决本题的关键．