Question

（本题满分16分）

已知直线与函数的图象相切于点，且与函数

的图象也相切.

       （Ⅰ）求直线的方程及的值；

（Ⅱ）设，若恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，直线是函数的图象在点处的切线，

∴其斜率为

∴直线的方程为．                               ……………3分

        又因为直线与的图象相切，

由，

得（不合题意，舍去）  ……………6分

（Ⅱ）方法一：

由恒成立，

得恒成立                             ……………8分

设，则                    ……………9分

当时，；当时，．

于是，在上单调递增，在上单调递减．     

故的最大值为                       ……………11分

 要使恒成立，只需     ∴a的取值范围为   ……………12分

方法二：由（Ⅰ）知，

∴

……………8分

（i）若时，令，则；令，则，

故在上单调递减，在上单调递增

故在上的最小值为

要使解得恒成立，只需，得 …………12分

（ii）若，恒成立，在上单调递减，，

故不可能恒成立                             ……………15分

综上所述，   即a的取值范围为           ……………16分