Question

在数列{a_n}中，a₁=1,a_n+1=1-,b_n=，其中N∈N^*.

(1)求证：数列{b_n}是等差数列.

(2)求证：在数列{a_n}中对于任意的N∈N^*都有a_n+1＜a_n.

(3)设c_n=，试问数列{c_n}中是否存在三项它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证明:因为b_n+1-b_n=-                                                           ?

=-=-=2(n∈N^*),?

所以数列{b_n}是等差数列.                                                                                       ?

(2)证明:因为a₁=1,所以b₁==2.?所以b_n=2+(n-1)×2=2n.?

由b_n=,得2a_n-1==(n∈N^*)，?所以a_n=.                                     ?

所以a_n+1-a_n=-=＜0.?

所以在数列{a_n}中对于任意的n∈N^*都有a_n+1＜a_n.                                                   ?

(3)解:c_n=()^b_n=2ⁿ,?

设{c_n}中存在三项c_m,c_n,c_P(m＜n＜P,m,n,P∈N^*)成等差数列，?

则2·2ⁿ=2^m+2^P，所以2ⁿ⁺¹=2^m+2^P，                                                                           ?

2^n-m+1=1+2^P-m.                                                                                                          ?

因为m＜n＜P,m,n,P∈N^*,所以n-m+1,P-m∈N^*.?

2^n-m+1为偶数，1+2^P-m为奇数，?所以2^n-m+1与1+2^P-m不可能相等.                                   ?

所以数列{c_n}中不存在可以构成等差数列的三项.