Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角是多少；
（2）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，求λ的范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量坐标运算、向量夹角公式即可得出；
（2）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）＜0，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）≠-1．利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$（-2\sqrt{3}，2）$．
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\sqrt{3}×（-2\sqrt{3}）$+2=-4．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-4}{2×4}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{2π}{3}$．
（2）$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$=$（-\sqrt{3}-λ\sqrt{3}，\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$．
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）＜0，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）≠-1．
∴$\sqrt{3}$$（-\sqrt{3}-λ\sqrt{3}）$+$（\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$＜0，解得：$λ＞-\frac{1}{2}$．
由$\sqrt{3}$$（\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$-$（-\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$=0，解得：λ=-2．
综上可得：λ的取值范围是$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．