Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，0＜β＜α＜

π

2

，求tan（α+2β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：依题意，可求得sin（α-β）与sinα、tanα的值，继而得到tanβ与tan2β的值，利用两角和的正切即可求得tan（α+2β）．

解答： 解：∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，（3分）
又cos（α-β）=

13

14

，cosα=

1

7

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

，sinα=

4 3

7

，tanα=4

3

；（6分）
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=

3

2

； （8分）
∴cosβ=

1

2

，tanβ=

3

，tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=-

3

．（11分）
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

4 3 - 3

1-4 3 •(- 3 )

=

3 3

13

．（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．