Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为BD₁的中点，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
（1）求证：BD₁⊥平面MNP；
（2）求异面直线B₁O与C₁M所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BC₁，欲证BD₁⊥平面MNP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD₁与平面MNP内两相交直线垂直，而BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN，MN∩PM=M，满足定理条件；
（2）延长CB到Q，使BQ=BM，连接B₁Q，OQ，根据异面直线所成角的定义可知∠OB₁Q是异面直线B₁O与C₁M所成的角，在三角形OB₁Q中利用余弦定理进行求解即可．

解答：解：（1）连接BC₁
由正方体的性质得BC₁是BD₁在
平面BCC₁B₁内的射影（3分）且B₁C⊥BC₁，
所以BD₁⊥B₁C（5分）
B₁C∥PM，则BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN
又MN∩PM=M，∴BD₁⊥平面MNP．
（2）延长CB到Q，使BQ=BM，连接B₁Q，OQ
则QM∥C₁B₁，且QM=C₁B₁．
∴B₁Q∥C₁M．
∴∠OB₁Q是异面直线B₁O与C₁M所成的角．（12分）
由于正方体的棱长为2，
则B₁O=

3

，B₁Q=

B1B2+BQ2

=

5

设底面ABCD的中点为O₁，
可求得OQ=

OO 2 1 +O1Q2

=

6

cos∠OB₁Q=

( 3 )2+( 5 )2-( 6 )2

2× 3 × 5

=

15

15

即异面直线B₁O与C₁M所成角的大小为arccos

15

15

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．