Question

9．已知函数$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数$h（x）={4^{f（x）+\frac{1}{2}x}}+m×{2^x}-1，x∈[{0，{{log}_2}3}]$，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数是偶函数，即f（-x）=f（x），可得k的值．
（2）求解出h（x），转化为二次函数，利用对称轴讨论其最小值，可得结论．

解答 解：（1）由题意，函数$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$是偶函数．
∵f（-x）=f（x），
即${log_4}（{{4^{-x}}+1}）-kx={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$对于任意x∈R恒成立，
∴$2kx={log_4}（{{4^{-x}}+1}）-{log_4}（{{4^x}+1}）={log_4}\frac{{{4^{-x}}+1}}{{{4^x}+1}}$，
∴2kx=-x，
∴$k=-\frac{1}{2}$．
（2）由题意，h（x）=4^x+m×2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，φ（t）=t²+mt，t∈[1，3]，开口向上，对称轴$t=-\frac{m}{2}$，
当$-\frac{m}{2}≤1$，即m≥-2时，φ（t）_min=φ（1）=1+m=0，解得：m=-1，
当$1＜-\frac{m}{2}＜3$，即-6＜m＜-2时，$φ{（t）_{min}}=φ（{-\frac{m}{2}}）=-\frac{m^2}{4}=0，m=0$（舍去），
当$-\frac{m}{2}＞3$，即m＜-6时，φ（t）_min=φ（3）=9+3m=0，∴m=-3（舍去）
∴存在m=-1使得h（x）最小值为0．

点评 本题考查了对数的基本运算和二次函数的最值的讨论求解参数问题．属于中档题．