Question

已知数列a_n满足a₁=2，

an+1 2an

=1+

1

n

；
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

an

n

}的前n项和为S_n，试比较a_n-S_n与2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

an+1 2an

=1+

1

n

，得

an+1

n+1

=

2

an+1

n

，故

an

n

=(

2

)n由此能求出a_n．
（Ⅱ）由S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，知2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，所以S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，由此能够推导出a_n-S_n＞2．

解答：解：（Ⅰ）由

an+1 2an

=1+

1

n

，得

a   n+1

n+1

=

2

•

an

n

，
∴数列{

an

n

}是以

2

为首项，

2

为公比的等比数列．
∴

an

n

=(

2

)n得a_n=n²•2ⁿ（n∈N⁺）（5分）
（Ⅱ）由条件知：
S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1
整理得：S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，（9分）
∴a_n-S_n-2=n²×2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹-4=[（n-1）²+1]×2ⁿ-4，
∵n∈N⁺，∴n=1时，a_n-S_n-2＜0，∴a_n-S_n＜2
n≥2时，a_n-S_n＞2，∴a_n-S_n＞2．（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，利用数列的性质比较比较a_n-S_n与2的大小，解题时要注意数列性质的合理运用．