Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a²+c²=b²+ac．
（1）若b=$\sqrt{3}$，sinC=2sinA，求c的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a²+c²=b²+ac．b=$\sqrt{3}$，即可解得a，c的值．
（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a²+c²=b²+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵sinC=2sinA，
∴由正弦定理可得：c=2a，
又∵a²+c²=b²+ac．b=$\sqrt{3}$，
∴a²+4a²=3+2a²，
解得：a=1，c=2…6分
（2）由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵b=2，a²+c²=b²+ac．
∴4+ac=a²+c²≥2ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，当且仅当a=c=2时等号成立．
故△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．