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如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

【答案】分析:(1)设出椭圆的标准方程和A,B的坐标进而把A,B代入到椭圆方程联立,先看当当AB不垂直x轴时,方程组中两式相减,进而求得x和y的关系及P的轨迹方程;再看AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足刚才所求的方程,最后综合可得答案.
(2)先根据椭圆方程求得其右准线方程,求得原点到右准线的距离,根据c2=a2-b2,求得=2sin(+),进而可知
当q=时,上式达到最大值.此时a,b和c可求得,则可求得此时的椭圆的方程,设椭圆Q:上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),则可表示出三角形的面积,把直线m的方程代入椭圆方程,消去x,根据韦达定理由韦达定理得y1+y2和y1y2的表达式,进而求得三角形面积的表达式,令t=k2+131,进而求得S关于t的函数,根据t的范围确定三角形面积S的最大值.
解答:解:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)
上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),

1°当AB不垂直x轴时,x1?1;x2
由(1)-(2)得
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

∴b2x2+a2y2-b2cx=0(3)
2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)
故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0

(2)因为,椭圆Q右准线l方程是x=,原点距l的距离为
由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤
==2sin(+
当q=时,上式达到最大值.
此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
设椭圆Q:上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面积
S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
设直线m的方程为x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0
由韦达定理得y1+y2=,y1y2=
4S2=(y1-y22=(y1+y22-4y1y2=
令t=k2+131,
得4S2=
当t=1,k=0时取等号.
因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(06年江西卷理)(12分)

如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点

(1)求点P的轨迹H的方程

(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点

(1)       求点P的轨迹H的方程

(2)       在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,椭圆Q:数学公式(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤数学公式),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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科目:高中数学 来源: 题型:

21.

    如图,椭圆Q:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点.

    (1)求点P的轨迹H的方程;

    (2)若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤Equation.3).

    设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当θ为何值时,△MNF为—个正三角形?

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