Question

已知直线y=x与函数g（x）=

1

x

（x＞0）的图象交于点Q，若P，M分别是直线y=x与函数g（x）=

1

x

（x＞0）的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，有|PM|≥|PQ|恒成立，则点P横坐标的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：作图辅助，易知Q（1，1），设P（p，p），则M（m，

1

m

），（p≠1，m≠1，m＞0）；从而求出|PM|=

(m-p)2+( 1 m -p)2

，|PQ|=

(p-1)2+(p-1)2

；从而化为p≤

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

恒成立；从而解得．

解答： 解：如图，易知Q（1，1），设P（p，p），则M（m，

1

m

），（p≠1，m≠1，m＞0）；
则|PM|=

(m-p)2+( 1 m -p)2

，
|PQ|=

(p-1)2+(p-1)2

；
则|PM|≥|PQ|可化为

(m-p)2+( 1 m -p)2

≥

(p-1)2+(p-1)2

；
化简得，m²+

1

m2

-2（m+

1

m

）p≥2-4p；
即p≤

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

恒成立；

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

=

m+ 1 m +2

2

＞

2+2

2

=2；
故p≤2；
又∵P、Q互异，
∴p≤2且p≠1；
故答案为：p≤2且p≠1．

点评：本题考查了学生的作图分析的能力及基本不等式及恒成立问题，属于中档题．