Question

已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8＜v≤v₀).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?

Answer 1

分析：燃料费最省,实质是求函数的最小值.

解：设每小时的燃料费为y₁,比例系数为k(k＞0),则y₁=kv²,当v=12时,y₁=720,

∴720=k·12²,得k=5.

设全程燃料费为y,由题意y=y₁·=,

∴y′==.

令y′=0,∴v=16.

∴当v₀≥16时,v=16时全程燃料费最省;

当v₀＜16时,即v∈(8,v₀)时y′＜0,

即y在(8,v₀］上为减函数,∴当v=v₀时,y_min=.

综上,当v₀≥16时,v=16千米/时全程燃料费最省,为32 000元;

当v₀＜16时,则v=v₀时全程燃料费最省,为.

点评：本题主要考查分类讨论的思想方法和导数的应用.