Question

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T
作用下得到点P′（3，3），求A⁴.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
直线与圆（>0）相交于A、B两点，设
P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求实数的值
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，试求2+的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）=3.
（Ⅲ）(2+)_max=.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。
法1：=    即   =2，
故A= .             ------------------------------------ 2分
由λ₁=－1，λ₂="3."
当λ₁=－1时，矩阵A的特征向量为=.
当λ₂=3时，矩阵A的特征向量为=. -----------------------------4分
故A⁴=A⁴（+2）
=A⁴+2A⁴
=(－1)⁴+2·3⁴
=.          ------------------------------------7分
法2：由=,
即      ，
故A=.             ------------------------------------2分
A²=，
A³=，
A⁴ ， ------------------------------------5分
A⁴=. -----------------------------------7分
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
本题主要考查直线的参数方程，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力.
法1：直线参数方程可化为：y=(x+1) --------------------------------1分
联立方程  ，
消去，得：4+6+3－r="0" . ------------------------------------2分
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（不妨设x₁<x₂），则
Δ=36－16（3－）>0 ， …………①
x₁+x₂=，             …………②
x_1·x₂=，               …………③-----------------------------------3分
，   …………④-----------------------------------5分
由①②③④解得="3.         " -----------------------------------7分
法2：将直线参数方程代入圆方程得
t²－t+1－="0           " -----------------------------------1分
设方程两根为t₁、t₂，则
Δ=1－4（1－）>0   >.
t₁+t₂=1，t₁·t₂=1－ .…………（*）-----------------------------------3分
由参数t的几何意义知
 或.    ---------------------------5分
由，解得=3，
由，代入（*）得=3，
故所求实数r的值为3.         -----------------------------------7分
（3）选修4-5：不等式选讲
本题主要考查柯西不等式、绝对值不等式及其应用，考查推理论证与运算求解能力
解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , -------------2分
故²+²≤1.
(2+)²≤(2²+1²)( ²+²) ≤5. ---------------------------------4分
由      ,
即取=，时等号成立. --------------------------------6分
故(2+)_max=.          -----------------------------------7分