Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据B₁D₁∥BD，以及B₁D₁在平面BC₁D外，即可得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到BD⊥平面ACC₁A₁⇒A₁O⊥BD；再通过求先线段的长度推出A₁O⊥OC₁，即可证明A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可．

解答：解：（Ⅰ） 证明：依题意：B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外．（2分）
∴B₁D₁∥平面BC₁D（3分）
（Ⅱ） 证明：连接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（4分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

2

∴OA=

2

∴Rt△AA₁O中，A1O=

AA12+OA2

=2（6分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（7分）
∴A₁O⊥平面BC₁D（8分）
（Ⅲ）解：∵A₁O⊥平面BC₁D
∴所求体积V=

1

3

•A1O•

1

2

•BD•OC1（10分）
=

1

3

•2•

1

2

•2

2

•2=

4 2

3

（12分）

点评：本题主要考查线面垂直与线面平行的证明以及三棱锥体积的计算．是对立体几何知识的综合考查，难度不大，属于中档题．