Question

（2011•蓝山县模拟）设函数f(x)=cosx-cos(x-

π

3

)，x∈R．
（1）求f（x）的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；
（2）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式的第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由x为任意实数，可得余弦函数的值域为[-1，1]，进而确定出f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得到此时x的取值集合；
（2）把x=B，f（B）=0代入第一问化简得到的解析式中，根据B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=cosx-(cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

)
=

1

2

cosx-

3

2

sinx=cos(x+

π

3

)，…（3分）
∵x∈R，∴-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
则f（x）_max=1，…（4分）
此时x的取值集合为{x|x+

π

3

=2kπ，k∈Z}，即{x|x=2kπ-

π

3

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（B）=cos(B+

π

3

)=0，且B为三角形的内角，
∴B=

π

6

，…（8分）
又b=1，c=

3

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
12=a2+(

3

)2-2

3

acos

π

6

，…（10分）
即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2．…（12分）．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．