Question

设数列{an}为前n项和为Sn，，数列{ Sn +2}是以2为公比的等比数列．

(1)求；

(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：

＜≤

 

Answer 1

【答案】

  解：(1)由题意得：，，(1分)　　　　　　　　　

已知数列{ S_n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列

所以有：，    (4分)

当时，，又   (6分)

所以：　　　　(7分)

(２)由(１) 知:，

∴数列{c_n}为2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；(8分)

∴当 n=2k-1(k∈N^*)时，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k-2)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k-3)

=+=×8^k-，(11分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k = ×8^k-，(10分)

　=　　=　+，

∵ 5×8^k-12≥28，∴＜≤3。(11分)

∴当n=2k (k∈N^*)时，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k)

     =+=×8^k-，(12分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2  = ×8^k-，(13分)

      ∴ 　=　　=　+，∵8^k-1≥7 ，∴＜＜，

∴＜≤。(14分)

【解析】略