Question

已知数列a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）证明：任意相邻三项不可能有两个偶数；
（3）若，求n的值．

Answer 1

（1）解：∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=5a₂﹣3a₁=7，a₄=5a₃﹣3a₂=29
（2）证明：假设a_n，a _n+1，a _n+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，
不妨设a_n，a _n+1为偶数，
由已知3a _n﹣1=5a_n﹣a _n+1或a _n﹣1=a_n﹣a _n+1，
得a _n﹣1必为偶数，以此类推，可得a₁为偶数，与已知条件矛盾，
若有不相邻两项为偶数，不妨设a_n，a _n+2为偶数，
由已知5a _n+1=3a_n+a _n+2或a _n+1=a_n+a _n+2得a _n+1必为偶数，
以此类推，可得a₁为偶数，与已知条件矛盾，
故任意相邻三项不可能有两个偶数
（3）解：由n=1，2显然满足题意，
下证：n≥3时，无满足题意的n，
设使得an是4的倍数的最小下标为m，则
由（1）知m＞4，
由于a_m是偶数，由（2）知a _m﹣1，a _m﹣2为奇数，
再由已知条件知a _m﹣3为偶数
又a m_﹣1=5a _m﹣2+a _m﹣3或a_m=a _m﹣1+a _n﹣2
得3a _m﹣3=4a _m﹣2﹣a_m，
从而a _m﹣3也为4的倍数，与假设矛盾，
综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得 ，
故n=1，2