Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁·k₂为定值；

(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意可得圆的方程为， 　　∵直线与圆相切，∴，即，又，即，，解得，， 　　所以椭圆方程为；3分 　　(Ⅱ)设，，，则，即，则，， 　　即， 　　∴为定值．6分 　　(Ⅲ)设，其中． 　　由已知及点在椭圆上可得， 　　整理得，其中．8分 　　①当时，化简得， 　　所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；9分 　　②当时，方程变形为，其中， 　　当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；11分 　　当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；12分 　　当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．13分