Question

已知不等式x²-3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，函数f（x）=-x²+ax+4．
（1）求m，n的值；
（2）若y=f（x）在（-∞，1]上递增，解关于x的不等式loga(-nx2+3x+2-m)＜0．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，即可求m，n的值；
（2）先确定a≥2，再将不等式转化为一元二次不等式组，即可求得结论．

解答：解：（1）∵不等式x²-3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，
∴

1+n=3 1×n=m

，解得m=2，n=2；
（2）因为函数f（x）=-x²+ax+4在（-∞，1]上递增，所以

a

2

≥1
所以a≥2
∴不等式loga(-nx2+3x+2-m)＜0等价于

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

∴

0＜x＜ 3 2 x＞1或x＜ 1 2

∴0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

．

点评：本题考查不等式的解集与方程解的关系，考查函数的单调性，考查解不等式，利用韦达定理是关键．