Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知

PF1

•

PF2

的最大值为3，最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先确定|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，再计算

PF1

•

PF2

，利用

PF1

•

PF2

的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．

解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴y=

PF1

•

PF2

=|

PF1

|

|PF2

|cos∠F1PF2=

1

2

[|PF1|2+|PF2|2-4c2]
=

1

2

[|PF1|2+(|2a-|PF1|)2-4c2]=(|PF1|-a)2+a2-2c2…（2分）
当|PF₁|=a时，y有最小值a²-2c²；当|PF₂|=a-c或a+c时，y有最大值a²-c²．
∴

a2-c2=3 a2-2c2=2

，

a2=4 c2=1

，b²=a²-c²=3．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

…（6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2=k2x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2，
∵MN为直径的圆过点A，∴

AM

•

AN

=0，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴

AM

=（x₁-2，y₁），

AN

=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
∴7m²+16km+4k²=0，
∴m=-

2

7

k或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若m=-

2

7

k直线l：y=k(x-

2

7

)恒过定点(

2

7

，0)．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，联立方程，正确运用韦达定理是关键．