Question

在极坐标系中，已知圆C的圆心C（

2

，

π

4

），半径r=

3

．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

4

），直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=2+tsinα

（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的极坐标方程．
（II）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则|AB|=|t₁-t₂|，化为关于α的三角函数求解．

解答：解：（Ⅰ）∵C（

2

，

π

4

）的直角坐标为（1，1），
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=3．
化为极坐标方程是ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-1=0  …（5分）
（Ⅱ）将

x=2+tcosα y=2+tsinα

代入圆C的直角坐标方程（x-1）²+（y-1）²=3，
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=3，
即t²+2t（cosα+sinα）-1=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα），t₁•t₂=-1．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2+sin2α

．
∵α∈[0，

π

4

），∴2α∈[0，

π

2

），∴2

2

≤|AB|＜2

3

．
即弦长|AB|的取值范围是[2

2

，2

3

）…（10分）

点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可．