Question

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•AE的值为

90

．

Answer 1

分析：先由∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出

AB

AC

=

PA

PC

，再由切割线定理得到PA²=PB•PC；结合前面求出的结论以及勾股定理求出AC=6

5

，AB=3

5

；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．

解答：解：解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（3分）
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6

5

，AB=3

5

，…（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．…（10分）

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．