Question

（09年海淀区二模文）（14分）

如图，四边形ABCD的顶点都在椭圆上，对角线AC、BD互相垂直且平分于原点O.

（1）若点A在第一象限，直线AB的斜率为1，求直线AB的方程；

（2）求四边形ABCD面积的最小值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为                   1分

       ∵四边形ABCD的顶点都在椭圆上，

       ，∴，即

       则△                                                      2分

                                                                            3分

       ∴

       =

       又OA⊥OB，所以                                                  4分

       ∴

       ∴，                                                                                         5分

       ∵点A在第一象限∴

       所以直线AB的方程为                                                                      6分

   （Ⅱ）①若直线AB⊥轴，设其方程为，此时易知道直线AC、BD的方程分别

       为，，且四边形ABCD是正方形，

       则A（x₀，x₀），B（x₀，―x₀），

       ，

       四边形ABCD的面积                                                     8分

       ②若直线AB的斜率存在，设其方程为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

       ，∴

       即                                                             9分

       则△

       =

                                                                    10分

       ∴

       =

又所以

                             …………………………11分

所以|AB|

直角三角形OAB斜边AB上的高

所以

，   ……………………13分

当且仅当k=0时取得此最小值，此时=8        ……………………14分

综上所述，四边形ABCD面积的最小值为8.