Question

（08年咸阳市二模）  如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁ ．

（１）求证： GE∥侧面AA₁B₁B ；

（２）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．

 

Answer 1

解析：(1)延长B₁E交BC于F,  ∵ΔB₁EC∽ΔFEB,　BE＝ＥＣ_１

∴ＢＦ＝Ｂ_１Ｃ_１＝ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点．　　

∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且＝   ＝，∴GE∥AB₁，

又GE侧面AA₁B₁B， ∴GE∥侧面AA₁B₁B　　　　　　

（２）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2，

∴∠B₁ＢＨ＝６０^０，ＢＨ＝１，B₁Ｈ＝．

在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B₁Ｔ．由三垂线定理有B₁Ｔ⊥ＡＦ，

又平面B₁GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B₁ＴＨ为所求二面角的平面角．

∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３０^０，　∴ＨＴ＝ＡＨsin30⁰＝，

在ＲｔΔB₁ＨＴ中，ｔａｎ∠B₁ＴＨ＝＝　，

从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan