Question

17．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则|$\overrightarrow{BQ}$|的最小值是$\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$．

Answer 1

分析 首先建立平面直角坐标系：以A为原点，平行于CB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出C，B点的坐标，并根据题意设P（cosθ，sinθ），从而得到$\overrightarrow{BQ}$的坐标，用θ表示|$\overrightarrow{BQ}$|即可．

解答 解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），则A（0，0），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}（cosθ，sinθ）+\frac{1}{3}（\frac{3}{2}，-\frac{3\sqrt{3}}{2}）$=（$\frac{2}{3}cosθ+\frac{1}{2}，\frac{2}{3}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{2}{3}cosθ+2，\frac{2}{3}sinθ+\sqrt{3}$）
则|$\overrightarrow{BQ}$|=$\sqrt{（\frac{2}{3}cosθ+2）^{2}+（\frac{2}{3}sinθ+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{67}{9}+\frac{4\sqrt{7}}{3}sin（θ+α）}≥\sqrt{\frac{67}{9}-\frac{4\sqrt{7}}{3}}$=$\sqrt{\frac{67-12\sqrt{7}}{9}}=\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$．
∴故答案为：$\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题