Question

直线x+

3

y-2=0与圆x²+y²=4相交于C₁的圆心为（3，0），且经过点A（4，1）．
（1）求圆C₁的方程；
（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点B、D分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|BD|的最小值；
（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒2

2

个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

Answer 1

分析：（1）根据圆C₁的圆心为（3，0），求得半径，从而求得圆的标准方程；
（2）求出圆C₁上的点到直线l的最短距离，根据圆C₂与圆C₁关于直线l对称，可求|BD|的最小值；
（3）设运动时间为t秒，依据题意求得PQ的坐标，可得P、Q的斜率，由点斜式求的PQ的方程，再根据当直线PQ与圆C₁相切时，圆心C₁到直线PQ的距离等于半径，求得t的值．

解答：解：（1）由题意可得，圆C₁的圆心为（3，0），半径为

(4-3)2+1

=

2

∴圆C₁的方程为 （x-3）²+y²=2．；
（2）C₁到直线l的距离d=

|3-0|

1+1

=

3 2

2

∴圆C₁上的点到直线l的最短距离为

3 2

2

-

2

=

2

2

∵圆C₂与圆C₁关于直线l对称，
∴|BD|_min=2×

2

2

=

2

；
（3）设运动时间为t秒，则由题意可得|OP|=t，|OQ|=2

2

t，则点P（t，0）．
由于点Q在直线l上，设Q（m，n），m＞0，n＞0，则有m²+n²=（2

2

t）²，解得m=2t，即Q（2t，2t）．
故PQ的斜率为

2t-0

2t-t

=2，
所以PQ的方程为y-0=2（x-t），即2x-y-2t=0．
当直线PQ与圆C₁相切时，圆心C₁到直线PQ的距离等于半径，即

|2×3-0-2t|

22+1

=

2

，
解得t=3±

10

2

，
故当t=3±

10

2

时，直线PQ与圆C₁相切．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．