Question

设a为实数，函数f（x）=3x²-2ax+a²-1．
（1）若f（

1

2

）≥0，求a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，求a的取值范围；
（3）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）不等式f（

1

2

）≥0，即 a²-a-

1

4

≥0，由此求得a的范围．
（2）不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，等价于

f( 1 3 )≤0 f( 1 2 )≤0

，由此解得a的范围．
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），对称轴为x=

a

3

．分判别式大于零、小于或等于零两种情况，分别求得不等式f（x）≥0的解集．

解答：解：（1）f（

1

2

）≥0，即 a²-a-

1

4

≥0，解得a的范围为{a|a≥

1+ 2

2

，或a≤

1- 2

2

}．…（4分）
（2）不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，等价于

f( 1 3 )≤0 f( 1 2 )≤0

，解得

1- 2

2

≤a≤

1+ 2

2

，故a的范围为[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．…（10分）
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），对称轴为x=

a

3

．
①当a≥

6

2

或a≤-

6

2

时，△≤0，不等式的解集为（a，+∞）；…（12分）
②当-

6

2

＜a＜

6

2

时，△＞0，得

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

．
（ⅰ）当a∈(

2

2

，

6

2

)时，a＞

a+ 3-2a2

3

，不等式的解集为（a，+∞）；
（ⅱ）当a∈(-

6

2

，-

2

2

)时，a＜

a- 3-2a2

3

，
不等式的解集为(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
（ⅲ）当a∈[-

2

2

，

2

2

]时，

a- 3-2a2

3

≤a≤

a+ 3-2a2

3

，
不等式的解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．…（15分）
综上所述，当a∈(-∞，-

6

2

]∪(

2

2

，+∞)，解集为（a，+∞）；
当a∈[-

2

2

，

2

2

]，解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
当a∈(-

6

2

，-

2

2

)，解集为(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．…（16分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．