Question

（2013•顺义区二模）已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为4+4

2

．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若

OA

⊥

OB

（O为坐标原点），求证：直线l与圆x2+y2=

8

3

相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得，

c

a

=

2

2

且2a+2c=4+4

2

，联立方程组解出即得a，c，再由b²=a²-c²求得b值；
（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，联立直线方程与椭圆方程易求A，B坐标，由

OA

⊥

OB

得x₁x₂+y₁+y₂=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x₁x₂+y₁+y₂=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；

解答：（Ⅰ）解：由已知得，

c

a

=

2

2

且2a+2c=4+4

2

，
解得a=2

2

，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，
则x₁=m，y1=

4- m2 2

，x₂=m，y2=-

4- m2 2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴m2-(4-

m2

2

)=0，解得m=±

2 6

3

，
故直线l的方程为x=±

2 6

3

，
因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=

2 6

3

，
又圆x2+y2=

8

3

的圆心为O（0，0），半径r=

2 6

3

=d，
所以直线l与圆x2+y2=

8

3

相切；
（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圆x2+y2=

8

3

的圆心为O（0，0），半径r=

2 6

3

，
圆心O到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

，
∴d2=(

|m|

1+k2

)2=

m2

1+k2

=

3m2

3(1+k2)

②，
将①式带入②式得
d2=

8k2+8

3(1+k2)

=

8

3

，
所以d=

2 6

3

=r，
因此，直线l与圆x2+y2=

8

3

相切．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．