Question

已知函数
（1）求f（x）+f（1-x）及的值；
（2）是否存在自然数a，使对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较和lg（n！）（n∈N）的大小．

Answer 1

解：（1）f（x）+f（1-x）
=
=
=
=1．

=+
=4+
=．
（2）假设存在自然数a，使对一切n∈N都成立．
由，
得，
当a=1，2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．
当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，=2n²+1＞n²成立，
则 3ⁿ＞n²对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²?（n∈N），
所以，，…，，
相乘得，＞lgn!成立．
分析：（1）f（x）+f（1-x）===1．
=+=4+，由此能求出其结果．
（2）假设存在自然数a，使对一切n∈N都成立．由，得，由此能够证明存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²?（n∈N），所以，，…，，由此能比较和lg（n！）（n∈N）的大小．
点评：本题考查不等式的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．