Question

已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。(12分)

求双曲线C的标准方程；

若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得………………………………………2分

∵且的面积为1

∴,

∴

∴………………………………………4分

∴双曲线C的标准方程为。………………………………………5分

（2）设，联立得

显然否则直线与双曲线C只有一个交点。

即

则……………………………8分

又

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)

∴即

∴

∴

化简整理得

∴ ，且均满足

当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当时，直线的方程为，直线过定点（，0）

∴直线定点，定点坐标为（，0）。……………………………12分