Question

已知关于x函数f（x）=（1-a）x²+（a+2）x-4，a为实数，求：
（1）函数f（x）在[-2，1]只存在一个零点，求a的取值范围；
（2）函数f（x）的所有零点都大于0，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数在[-2，1]只存在一个零点，∴f（-2）×f（1）≤0．…（2分）
（等号不同时取），即：-1（-6a-4）≤0，解得：，即a的取值范围为（-∞，-]． …（5分）
（2）①当1-a=0时，即a=1，则3x-4=0，解得：（符合题意）．…（8分）
②当1-a≠0时，即a≠1，则满足：，…（11分）
推出，可得1＜a≤2，或a≥10．…（13分）
综合以上情况，所求的a的取值范围为[1，2]∪[10，+∞）． …（14分）
分析：（1）由函数在[-2，1]只存在一个零点，可得f（-2）×f（1）≤0 （等号不同时取），即：-1（-6a-4）≤0，由此求得a的取值范围．
（2）①当1-a=0时，即a=1，则3x-4=0，解得符合题意． ②当1-a≠0时，即a≠1，则由 ，再求得a的取值范围．
最后将求得的两个a的取值范围取并集，即得所求．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．